二级共公基础知识教程

文章作者 100test 发表时间 2007:03:10 16:42:42
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1．6树与二叉树

一、树的基本概念

在树结构中，每一个结点只有一个前件，称为父结点，没有前件的结点只有一个，称为树的根结点，简称为树的根。
在树结构中，每一个结点可以有多个后件，它们都称为该结点的子结点。没有后件的结点称为叶子结点。
在树结构中，一个结点所拥有的后件个数称为该结点的度。
叶子结点的度为0。
树的最大层次称为树的深度。
在一个算术表达式中，有运算符和运算对象。一个运算符可以有若干个运算对象。例职，取正（ ）等只有一个运算对象，称为单目运算符；二个运算对象称为双目运算符，三目运算符。
用树来表示算术表达式的原则如下：
表达式中的每一个运算符在树中对应一个结点，称为运算符结点。
运算符的每一个运算对象在树中为该运算符结点的子树（在树中的顺序为从左到右）。
运算对象中的单变量均为叶子结点。

二、二叉树及其基本性质

1、什么是二叉树
二叉树是一种很有用的非线性结构。二就树具有以下两个特点：
非空二叉树只有一个根结点；
每一个结点最多有两棵子树，且分别称为该结点的左子树与右子树。
由以上特点可以看出，在二叉树中，每一个结点的度最大为2，即所有子树（左子树或右子树）也均为二叉树，而树结构中的每一个结点的度可以是任意的。另外，二叉树中的每一个结点的子树被明显地分为左子树与右子树。可以没有其中的一个，也可以全没有。
二叉树的基本性质
性质1：在二叉树的第K层上，最多有（K≥1）个结点。
性质2：浓度为M的二叉树最多有2m-1 个结点。
深度为m 的二叉树是指二叉树共有m层。
性质3：在任意一棵二叉树中度为0的结点（即叶子结点）总是比度为2的结点多一个。
性质4：具有n个结点的二叉树，其深度至少为[ log2n] 1,其中[ log2n]表示取的整数部分。
满二叉树与完全二叉树
满二叉树与完全二叉树是两种特殊形态的二叉树。
满二叉树
所谓满二叉树是指这样的一种二叉树；除最后一层外，每一层上的所有结点都有两个子结点。这就是说，在满二叉树中，每一层上的结点数都达到最大值，即在满二叉树的第K层上有2K-1个结点，且深度为m的满二叉树有2m-1个结点。
完全二叉树
所谓完全二叉树是指这样的二叉树，除最后一层外，每一层上的结点数均达的最大值；在最后一层上只缺少右边的若干结点。
列确切地说，如果从根结点起，对二叉树的结点自上而下、自左至右用自然数进行边疆编号，则深度为m、且有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为m的满二叉树中编号从1到n的结点一一对应时，称之为完全二叉树。
对于完全二叉树来说，叶子结点只可能在层次最大的两层上出现；对于任何一个结点，若其右分支下的子孙结点的最大层次为p，则其左分支下的子孙结点的最大层次或为p，或为p 1。
由满二叉树与完全二叉树的特点可以看出，满二叉树也是完全二叉树，而完全二叉树一般不是满二叉树。
完全二叉树还具有以下两个性质：
性质5：具有n个结点的完全二叉树的深度为[ log2n] 1。
性质6：设完全二叉树共有n个结点。如果从根结点开始，按层序（每一层从左到右）用自然数1，2，…，n给结点进行编号，则对于编号为k （k=1,2,…n）的结点有以下结论：
若k=1，则该结点为根结点，它没有父结点；若k>1，则该结点的父结点编号为INT(k/2)。
若2k≤n，则编号为k 的结点的左子结点编号为2k ；否则该结点无左子结点（显然也没有右子结点）。
若2k 1≤n，则编号为k 的结点的右子结点编号为2k 1；否则该结点无右子结点。

三、二叉树的存储结构

二叉树的遍历
二叉树的遍历是指不重复地访问二叉树的所有结点。
在遍历二叉树的过程中，一般先遍历左子树，然后再遍历右子树。
1、前序遍历（DLR）
所谓前序遍历是指在访问根结点、遍历左子树与遍历右子树这三者中，首先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树；并且，在遍历左、右子树时，仍然先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。F，C，A，D，B，E，G，H，P
2、中序遍历（LDR）
所谓中序遍历是指在访问根结点、遍历左子树与遍历右子树这三者中，首先遍历左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树；并且，在遍历左、右子树时，仍然先遍历左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树。A，C，B，D，F，E，H，G，P
3、后序遍历（LRD）
所谓中序遍历是指在访问根结点、遍历左子树与遍历右子树这三者中，首先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根结点；并且，在遍历左、右子树时，仍然先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根结点。A，B，D，C，H，P，G，E，F

1.7查找技术

一、顺序查找

顺序查找又称顺序搜索。顺序查找一般是指在线性表中查找指定的元素，其基本方法如下：从线性表的第一个元素开始，依次将线性表中的元素与被查元素进行比较，若相等则表示找到（即查找成功）；若线性表中所有的元素都与被查元素进行了比较但都不相等，则表示线性表中没有要找的元素（即查找失败）。
顺序查找的效率是很低的。以下两种情况只能采用顺序查找：
如果线性表无序表（即表中元素的排列是无序的），则不管是顺序存储结构还是链式存储结构，都只能用顺序查找。
即使是有序线性表，如果采用链式存储结构，也只能用顺序查找。

二、二分法查找

二分法查找只适用于存储的有序表。在此所说的有序表是指线性表的中元素按值非递减排列（即从小到大，但允许相邻元素值相等）。
设有序线性表的长度为n，被查元素为x，则对分查找的方法如下：
将x与线性表的中间项进行比较：
若中间项的值等于x，则说明查到，查找结束；
若x小于中间项的值，则在线性表的前半部分（即中间项以前的部分）以相同的方法进行查找；
若x大于中间项的值，则在线性表的后半部分（即中间项以后的部分）以相同的方法进行查找。
这个过程一直进行到查找成功或子表长度为0（说明线性表中没有这个元素）为止。
显然，当有序线性表为顺序存储时才能采用二分查找，并且，二分查找的效率要比顺序查找高得多。可以证明，对于长度为n的有序线性表，在最坏情况下，二分查找只需要比较log2n次，而顺序查找需要比较n次。