数学奥赛：初一奥数自测题解答(一)

文章作者 100test 发表时间 2007:03:23 14:06:52
来源 100Test.Com百考试题网

自测题一

　　

　　　

　　所以 　　　　x=5000(元)．

　　

　　所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24．

　　3．因为

　

　　　

　　　

　　时，a-b≥0，即a≥b．即当b≥a＞0或b≤a＜0时，等式成立．4．设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米．依题意则

　　有

　　由②有　　　　　　　　　　2x y=20，　　　　　　　　　　 ③

　　由①有y=12-x．将之代入③得

2x 12-x=20．

　　所以　　　　x=8(千米)，于是y=4(千米)．

　　5．第n项为

　　所以

　　　　　　　　

　　　　　

　　　　　　　　

　　6．设p=30q＋r，0≤r＜30．因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30．假设r为合数，由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5．再由p=30q＋r知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾．所以，r一定不是合数．

　　7．设

　　由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即

(4-m)pq 1=2(p q)．

　　可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，q．

　　(1)若m=1时，有

　　解得p=1，q=1，与已知不符，舍去．

　　(2)若m=2时，有

　　因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解．

　　(3)若m=3时，有

　　解之得

　　故　　　　　　　　　　　　　　　　　 p＋q=8．

　　8．因为x2 xy y2=(x-y)2 3xy．由题设，9｜(x2 xy＋y2)，所以3｜(x2＋xy＋y2)，从而3｜(x-y)2．因为3是质数，故3｜(x-y)．进而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，结合3(x-y)，便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x．

　　9．连结AN，CN，如图1－103所示．因为N是BD的中点，所以

　

　　上述两式相加

　　另一方面，

S△PCD=S△CND＋S△CNP＋S△DNP．

　　因此只需证明

S△AND＝S△CNP＋S△DNP．

　　由于M，N分别为AC，BD的中点，所以

S△CNP=S△CPM-S△CMN

　 　=S△APM-S△AMN

　=S△ANP．

　　又S△DNP=S△BNP，所以

S△CNP＋S△DNP=S△ANP S△BNP=S△ANB=S△AND．