整数问题：特殊的自然数之二

文章作者 100test 发表时间 2007:03:23 14:06:04
来源 100Test.Com百考试题网

A1－008 n为怎样的自然数时，数

3^2n＋1－2^2n＋1－6ⁿ

是合数？

【题说】 第二十四届（1990年）全苏数学奥林匹克十一年级题5

【解】 3^2n＋1－2^2n＋1－6ⁿ＝（3ⁿ－2ⁿ）（3^n＋1＋2^n＋1）

当 n＞l时，3ⁿ－2ⁿ＞1，3^n＋1＋2^n＋1＞1，所以原数是合数．当 n＝1时，原数是素数13．

A1－009设n是大于6的整数，且a₁、a₂、…、a_k是所有小于n且与n互素的自然数，如果

a₂－a₁＝a₃－a₂＝…＝a_k－a_k－1＞0

求证：n或是素数或是2的某个正整数次方．

【题说】 第三十二届（1991年）国际数学奥林匹克题2．本题由罗马尼亚提供．

【证】 显然a₁＝1．

由（n－1，n）＝1，得 a_k＝n－1．

令 d＝a₂－a₁＞0．

当a₂＝2时，d＝1，从而k＝n－1，n与所有小于n的自然数互素．由此可知n是素数．

当a₂＝3时，d＝2，从而n与所有小于n的奇数互素．故n是2的某个正整数次方．

设a₂＞3．a₂是不能整除n的最小素数，所以2|n，3|n．由于n－1＝a_k＝1＋（k－1）d，所以3 d．又1＋d＝a₂，于是3 1＋d．由此可知3|1＋2d．若1＋2d＜n，则a₃＝1＋2d，这时3|（a₃，n）．矛盾．若1＋2d≥n，则小于n且与n互素自然数的个数为2．

设n＝2m（＞6）．若m为偶数，则m＋1与n互质，若m为奇数，则m＋2与m互质．即除去n－1与1外、还有小于n且与n互质的数．矛盾．

综上所述，可知n或是素数或是2的某个正整数次方．

A1－010 试确定具有下述性质的最大正整数A：把从1001至2000所有正整数任作一个排列，都可从其中找出连续的10项，使这10项之和大于或等于A．

【题说】 第一届（1992年）中国台北数学奥林匹克题6．

【解】 设任一排列，总和都是1001＋1002＋…＋2000＝1500500，将它分为100段，每段10项，至少有一段的和≥15005，所以

A≥15005

另一方面，将1001～2000排列如下：

2000 1001 1900 1101 1800

1201 1700 1301 1600 1401

1999 1002 1899 1102 1799

1202 1699 1302 1599 1402

… … … … … …

1901 1100 1801 1200 1701

1300 1601 1400 1501 1300

并记上述排列为

a₁，a₂，…，a₂₀₀₀

（表中第i行第j列的数是这个数列的第10（i－1）＋j项，1≤i≤20，1≤j≤10）

令 S_i＝a_i＋a_i＋1＋…＋a_i＋9（i＝1，2，…，1901）

则S₁＝15005，S₂＝15004．易知若i为奇数，则S_i＝15005；若i为偶数，则S_i＝15004．

综上所述A＝15005．