整数问题：特殊的自然数之一初中升学考试

文章作者 100test 发表时间 2009:01:02 09:08:33
来源 100Test.Com百考试题网

A1－001 假设n是自然数，d是2n²的正约数．证明：n²＋d不是完全平方．

【题说】 1953年匈牙利数学奥林匹克题2．

【证】 设2n²＝kd，k是正整数，如果 n²＋d是整数 x的平方，那么

k²x²＝k²（n²＋d）＝n²（k²＋2k）

但这是不可能的，因为k²x²与n²都是完全平方，而由k²＜k²＋2k＜（k＋1）²得出k²＋2k不是平方数．

A1－002试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数．

【题说】 1962年上海市赛高三决赛题 1．

【证】 四个连续自然数的乘积可以表示成

n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n²＋3n）（n²＋8n＋2）

＝（n²＋3n＋1）²－1

因此，四个连续自然数乘积加上1，是一完全平方数，故知本题结论成立．
A1－003已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此级数一定含有无穷多个完全平方数．

【题说】 1963年全俄数学奥林匹克十年级题2．算术级数有无穷多项．

【证】 设此算术级数公差是 d，且其中一项 a＝m²（m∈N）．于是

a＋（2km＋dk²）d＝（m＋kd）²

对于任何k∈N，都是该算术级数中的项，且又是完全平方数．

A1－004 求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得到一个完全平方数（假定划掉的两个数字中的一个非零）．

【题说】 1964年全俄数学奥林匹克十一年级题 1．

【解】 设 n²满足条件，令n²＝100a²＋b，其中 0＜b＜100．于是 n＞10a，即 n≥10a＋1．因此

b＝n²100a²≥20a＋1

由此得 20a＋1＜100，所以a≤4．

经验算，仅当a＝4时，n＝41满足条件．若n＞41则n²－40²≥42²－40²＞100．因此，满足本题条件的最大的完全平方数为41²＝1681．

A1－005 求所有的素数p，使4p²＋1和6p²＋1也是素数．

【题说】 1964年～1965年波兰数学奥林匹克二试题 1．

【解】 当p≡±1（mod 5）时，5|4p²＋1．当p≡±2（mod 5）时，5|6p²＋1．所以本题只有一个解p＝5．

A1－006证明存在无限多个自然数a有下列性质：对任何自然数n，z＝n⁴＋a都不是素数．

【题说】 第十一届（1969年）国际数学奥林匹克题1，本题由原民主德国提供．

【证】 对任意整数m＞1及自然数n，有

n⁴＋4m⁴＝（n²＋2m²）²－4m²n²

＝（n²＋2mn＋2m²）（n²－2mn＋2m²）

而 n²＋2mn＋2m²＞n²－2mn＋2m²

＝（n－m）²＋m²≥m²＞1

故 n⁴＋4m⁴不是素数．取 a＝4·2⁴，4·3⁴，…就得到无限多个符合要求的 a．