考研数学线性代数命题注重知识点的衔接与转换考研

文章作者 100test 发表时间 2009:04:30 08:40:22
来源 100Test.Com百考试题网

　　考研数学线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，根据考研数学辅导专家多年来对考研数学命题的分析发现，线性代数的命题重点，除了对基础知识的注重外，还偏向于知识点的衔接与转换。
　　举例来说，设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB＝0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax＝0的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有r(B)≤n－r(A)即r(A)＋r(B)≤n，进而可求矩阵A或B中的一些参数。
　　再如，若A是n阶矩阵可以相似对角化，那么，用分块矩阵处理P－1AP＝∧可知A有n个线性无关的特征向量，P就是由A的线性无关的特征向量所构成，再由特征向量与基础解系间的联系可知此时若λi是ni重特征值，则齐次方程组(λiE－A)x＝0的基础解系由ni个解向量组成，进而可知秩r(λiE－A)＝n－ni，那么，如果A不能相似对角化，则A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r(λiE－A)＜n－ni，若A是实对称矩阵，则因A必能相似对角化而知对每个特征值λi必有r(λiE－A)＝n－ni，此时还可以利用正交性通过正交矩阵来实现相似对角化。
　　又比如，对于n阶行列式我们知道：若|A|＝0，则Ax＝0必有非零解，而Ax＝b没有惟一解（可能有无穷多解，也可能无解），而当|A|≠0时，可用克莱姆法则求Ax＝b的惟一解；可用|A|证明矩阵A是否可逆，并在可逆时通过伴随矩阵来求A－1；对于n个n维向量α1，α2，……αn可以利用行列式|A|＝|α1α2……αn|是否为零来判断向量组的线性相关性；矩阵A的秩r(A)是用A中非零子式的最高阶数来定义的，若r(A)＜r，则A中r阶子式全为0；求矩阵A的特征值，可以通过计算行列式|λE－A|，若λ＝λ0是A的特征值，则行列式|λ0E－A|＝0；判断二次型xTAx的正定性，可以用顺序主子式全大于零。
　　凡此种种，正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性就较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。复习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。

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