计算机逻辑基础一逻辑代数的基本概念

文章作者 100test 发表时间 2007:03:10 17:50:47
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逻辑代数，也称布尔代数（ Bolean algebra）或开关代数，是表示和处理事物之间各种逻辑关系的一种数学工具。例如：

A1、必须带"学生证"或"身份证"方可进机房。

A2、不管白猫黑猫，抓到老鼠的就是好猫。

设 S 表示已否带学生证，I表示已否带身份证，R表示能否进机房。它们各有两种不同的状态："肯定"（已带、能进）和"否定"（未带、不能进）。根据S、I的不同状态，R的状态会不同，如下表：

上述逻辑关系用表达式表示为：

R = S ∨ I 或 R = S ＋ I 或 R = S or I

其中， "∨"，"＋"，"or"是运算符号，称为"或"运算，或称"逻辑加"。上面的真值表给出了"或"运算的运算法则：当S 和 I两者都为"假"（或０）值时R为"假"，其余值时R都为"真"（或１）。

设 E 表示是否是猫，C表示能否抓到老鼠。G表示是否是好猫。则问题A２可表示为：

G = E∧C　或　 G = E·C　或 G = E　and C

其中， "∧"，"· "，"and"是运算符，称为"与"运算，或称"逻辑乘"。逻辑乘的运算符可以省略。其运算法则如下面的真值表：

设有命题：凡是敌人反对的 ,我们就拥护，凡是敌人拥护的,我们就反对。设 A 表示敌人是否反对，S表示我们是否反对。则A3 可以表示为：

S = ┒A 或 S = A 或 S = not A

其中， "┒"，"not "是运算符，称为"非"运算，或称"逻辑非"。其运算法则如下面的真值表：

或、与、非是逻辑代数的三个基本运算，前两个运算是双边运算，后一个运算是单边运算。在这个基础上建立逻辑代数。逻辑代数是这样一种代数系统：它有两个基本逻辑值： 0（假）和1（真），记为B={0，1}；而且经过逻辑运算得到的结果仍是这两个基本量之一，即具有封闭性。有一组基本运算：or（或） ，and（与） ，not（非），记为 P = {or，and，not }。

逻辑代数满足下面的基本定律：

（ 1）交换率： A or B = B or A ，A and B = B and A

（ 2）结合率：（A or B）or C = A or （B or C ）

（A and B） and C = A and （B and C）

（ 3）幂等率： A and A = A ， A or A = A

（ 4）吸收率： A and （A or B ）= A ， A or（A and B）= A

（ 5）分配率： A and （B or C ）= A and B or A and C

A or（B and C）=（A or B） and （A or C）

（ 6）存在单位元素： A or 0 = A ， A or 1 = 1

A and 1 = A ， A and 0 = 0