单自由度体系无阻尼强迫振动结构工程师考试

文章作者 100test 发表时间 2009:05:08 20:15:56
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三、单自由度体系无阻尼强迫振动
设在质量m处沿质量自由度方向作用一般动力荷载P(t)，则由达朗伯原理，可得运动微分方程为
(6—10) 　　快把结构工程师站点加入收藏夹吧！
下面讨论常见动力荷载简谐荷载作用时结构的动力反应。
将简谐荷载 P(t) =P sinθt式(6—10)，这里P为荷载的幅值(最大值)，θ为简谐荷载的圆频率，得
(6—11)
设在t=0时体系的初始位移和初始速度均等于零，则式(6—11)的通解为
(6—12)
式中
(6—13)
为结构的最大静力位移，即将动荷载的最大值P作为静荷载作用时结构所产生的位移。
由式(6—12)可知，振动由两部分合成，第一部分按荷载频率θ振动，称为稳态强迫振动；第二部分按结构自振频率ω振动，称为伴生自由振动。实际问题中，稳态强迫振动较为重要。稳态强迫振动的最大位移(振幅)为
(6—14)
最大动力位移y(t)max与最大静力位移yst的比值称为位移动力系数，用μ表示，即
(6—15)
位移动力系数μ与频率比θ／ω的关系曲线如图6—6所示。当θ／ω <.1时，μ为正，表示动力位移与动力荷载的指向一致。当θ／ω >.1时，μ为负值，表示动力位移与动力荷载指向相反，这仅在不计阻尼时出现。既然位移随时间作简谐变化，而工程设计中，往往要求的是振幅绝对值，可不考虑μ的正负号，故图6—6的纵坐标采用μ的绝对值。
由图6—6可看出动力系数μ有如下一些特点。
1．θ／ω→0时，μ→1。与结构的自振周期相比，这时简谐荷载的数值随时间变化得相当慢，故可将简谐荷载作为静荷载处理。
2．0<.θ／ω<.1时，μ>.1，且θ／ω增大时，μ亦增大。
3．θ／ω→1时，μ→∞，即结构自振频率接近于荷载频率时，振幅无限增大，这种现象称为共振。但由于实际问题中存在阻尼，共振时也不会出现振幅为无限大的情况，然而共振时的振幅比静位移大很多倍的情况是可能出现的，在工程中一般应设法避免这种情况出现，不过有时也可以充分利用这种现象。
4．θ／ω>.1时，μ的绝对值随θ／ω值增大而减小，并趋近于零。当μ→0时，表明高频简谐荷载作用下，体系处于静止状态。
在单自由度结构上，当动力荷载与惯性力的作用点重合时，位移动力系数与内力动力系数是相同的，这时位移动力系数和内力动力系数可统称为动力系数。即结构最大内力与θ／ω之间的变化关系与上述结构位移幅值与θ／ω之间的变化关系足相同的。

图6－6
[6—5] 一电动机安装在两根并排放置的钢梁中点，梁的部分质量集中于梁的中点，与电动机质量合并后的总质量为m＝3000kg，梁的跨度l＝4m，钢的弹性模量E＝205．8GPa，两根梁的惯性矩I＝4200cm4，电动机正常运转时每分钟的转数为n＝860，电动机转动部分的偏心质量块的质量为mQ＝450kg，偏心矩e ＝0.267cm，试求梁中点的弯矩和挠度。
[解] 振动荷载的 θ和P为

钢梁在竖向单位力作用下的跨中挠度为

梁的自振频率为


动力系数为


梁的弯矩和挠度由梁与电动机的自重G及振动荷载P所产生。梁中点的弯矩和挠度分别为